【題目】試求出正整數(shù)的最小可能值,使得下述命題成立:對于任意的個整數(shù)(允許相等),必定存在相應的個整數(shù)(也允許相等),且,,使得2003能整除.

【答案】7

【解析】

先證明時,命題成立.為此,考慮和式,其中.

這種和式共有個,由于,所以,由抽屜原則可知,必有兩個不同的和式2003除所得的余數(shù)相同.

2003能整除

.

其中,(因為、,),且至少有一個(因為數(shù)組).這時,取,即可滿足要求.

故當時,命題成立.

其次,證明時,命題不成立.為此,我們舉反例.

,,,

于是,對于任意的6個整數(shù),,,

和式都是3的倍數(shù).

.

不妨設中不為零且下標為最大的數(shù)是,即,且,則

.

另外,不妨設(當時,可考慮.

,則

.

,則,.

綜上可知,且,.

顯然20033互素.

假若有2003整除,則,為整數(shù),且.于是,,這與矛盾.因此,當取時,就不可能有,,能使得

.

這個反例說明:當時,命題不成立.

由上述兩步可知,所求的最小正整數(shù)7.

練習冊系列答案
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0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中

抗倒伏數(shù)據(jù)如下:

143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175

180 188 188 192 195 195 199 203 206 206

易倒伏數(shù)據(jù)如下:

151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190 193 194 195 198

199 199 202 202 203

1)完成 2×2 列聯(lián)表,并說明能否在犯錯概率不超過0.01的條件下認為抗倒伏是否與玉米矮莖有關(guān)?

2)(i)按照分層抽樣的方式,在上述樣本中,從易倒伏和抗倒伏兩組中抽出9株玉米,再從這9株中取出兩株進行雜交試驗,設取出的易倒伏玉米株數(shù)為X,求X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);

ii)若將頻率視為概率,從抗倒伏的玉米試驗田中再隨機取出50株,求取出的高莖玉米株數(shù)的數(shù)學期望和方差.

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C. D.

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(Ⅰ)求證:;

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