Question

15．函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$其中（ω＞0）的最小正周期為π
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值時相應(yīng)的x值的集合；
（3）求f（x）的對稱軸方程；
（4）求f（x）的對稱中心坐標(biāo)；
（5）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（6）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的值域：

Answer 1

分析 由題意利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、以及它的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，求得結(jié)果．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$其中（ω＞0）的最小正周期為π，
可得$\frac{2π}{\frac{ω}{2}}$=π，求得ω=4．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，求得x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，故f（x）的最小值為-2+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
且取得最小值時相應(yīng)的x值的集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．
（3）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故f（x）的圖象的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（4）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，故f（x）的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z．
（5）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（6）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、以及它的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．