Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)

（1）求b、c的值．

（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函數(shù)，且f'（x）=3x2+2bx+c能夠求出b與c的值；

（2）對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，g'（x）＞0時(shí)的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，g'（x）＜0時(shí)的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間．g'（x）=0時(shí)的x函數(shù)g（x）取到極值．

（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．

從而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c

是一個(gè)奇函數(shù)，所以g（0）=0得c=0，由奇函數(shù)定義得b=3；

（2）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，從而g'（x）=3x2﹣6，

當(dāng)g'（x）＞0時(shí)，x＜﹣或x＞，

當(dāng)g'（x）＜0時(shí)，﹣＜x＜，

由此可知，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣），（，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣，）；

g（x）在x=﹣時(shí)取得極大值，極大值為4，

g（x）在x=時(shí)取得極小值，極小值為4．