Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)為F₁、F₂，P是雙曲線上的一點(diǎn)（P不在x軸上），△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸切與點(diǎn)A，且A到該雙曲線漸近線的距離為$\frac{3}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)三角形內(nèi)切圓的切點(diǎn)為A，B，C，其中A在x軸上，那么|F₂A|-|F₁A|=|F₂C|-|F₁B|，又|CP|=|PB|，運(yùn)用雙曲線的定義，求出A的坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)三角形內(nèi)切圓的切點(diǎn)為A，B，C，
其中A在x軸上，P在右支上，C在PF₂上，B在PF₁上，
那么|F₂A|-|F₁A|=|F₂C|-|F₁B|，
又|CP|=|PB|，
所以|F₂A|-|F₁A|=|F₂C|-|F₁B|
=|F₂C|+|CP|-|F₁B|-|BP|=|F₂P|-|F₁P|=-2a，
又|F₂A|+|F₁A|=|F₁F₂|=2c，
而F₂（c，0），所以A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，
由漸近線方程y=$\frac{a}$x，可得A到漸近線的距離為d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{3}$，
即有c=3a，則e=$\frac{c}{a}$=3．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，注意運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．