Question

已知三條直線l₁：2x-y+a=0（a＞0），直線l₂：-4x+2y+1=0和直線l₃：x+y-1=0，且l₁與l₂的距離是

7 5

10

，（1）求a的值；
（2）求l₁、l₃與x軸圍成的三角形面積；
（3）能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點；②P點到l₁的距離是P點到l₂的距離的

1

2

；③P點到l₁的距離與P點到l₃的距離之比是

2

：

5

？若能，求P點坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式,直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用平行線之間的距離公式即可得出；
（2）分別求出l₁與l₃與交點，利用三角形的面積計算公式即可得出；
（3）利用點到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）l₂即2x-y-

1

2

=0，
∴l(xiāng)₁與l₂的距離d=

|a-(- 1 2 )|

22+(-1)2

=

7 5

10

．
∴

|a+ 1 2 |

5

=

7 5

10

．∴|a+

1

2

|=

7

2

．
∵a＞0，∴a=3．
（2）l₁與l₃與交于A(-

2

3

，

5

3

)，l₁交x軸于B(-

3

2

，0)，l₃交x軸于C（1，0），
∴SABC=

1

2

|AB|•|yA|=

1

2

×

5

2

×

5

3

=

25

12

．
（3）設(shè)點P（x₀，y₀），若P點滿足條件②，則P點在與l₁、l₂平行的直線l′：2x-y+C=0上，
且

|C-3|

5

=

1

2

|C+ 1 2 |

5

，即C=

13

2

或C=

11

6

，
∴2x₀-y₀+

13

2

=0或2x₀-y₀+

11

6

=0；  
若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，有

2x0-y0+3

5

=

2

5

|x0+y0-1|

2

，
即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|，∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0．
由P在第一象限，∴3x₀+2=0不可能．
聯(lián)立方程2x₀-y₀+

13

2

=0和x₀-2y₀+4=0，應(yīng)舍去．
解得x₀=-3，y₀=

1

2

，
由2x₀-y₀+

11

6

=0，
x₀-2y₀+4=0，
解得x₀=

1

9

，y₀=

37

18

．
∴P（

1

9

，

37

18

）即為同時滿足三個條件的點．

點評：本題考查了平行線之間的距離公式、三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．