Question

13．如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三棱臺的定義，可知分別延長AD，BE，CF，會交于一點(diǎn)，并設(shè)該點(diǎn)為K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，進(jìn)而得出BF⊥AC．而根據(jù)條件可以判斷出點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BK，CK的中點(diǎn)，從而得出△BCK為等邊三角形，進(jìn)而得出BF⊥CK，從而根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF為直線BD和平面ACFD所成的角，根據(jù)條件可以求出BF=$\sqrt{3}$，DF=$\frac{3}{2}$，從而在Rt△BDF中可以求出BD的值，從而得出cos∠BDF的值，即得出直線BD和平面ACFD所成角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；
∴AC⊥平面BCK，BF?平面BCK；
∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)；
∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；
∴BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；
∴∠BDF是直線BD和平面ACFD所成的角；
∵F為CK中點(diǎn)，且DF∥AC；
∴DF為△ACK的中位線，且AC=3；
∴$DF=\frac{3}{2}$；
又$BF=\sqrt{3}$；
∴在Rt△BFD中，$BD=\sqrt{3+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$，cos$∠BDF=\frac{DF}{BD}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$；
即直線BD和平面ACFD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$

點(diǎn)評 考查三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的中線也是高線，面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面垂直的判定定理，線面角的定義及求法，直角三角形邊的關(guān)系，三角函數(shù)的定義．