已知函數(shù)f(x)=aex,g(x)=lnx-lna其中a為常數(shù),e=2.718K,函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線分別為l1,l2,且l1∥l2
(Ⅰ)求常數(shù)a的值及l(fā)1,l2的方程;
(Ⅱ)求證:對(duì)于函數(shù)f(x)和g(x)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,有|f(x)-g(x)|>2;
(Ⅲ)若存在x使不等式
x-m
f(x)
x
成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出兩條切線的斜率,根據(jù)l1∥l2,列出方程,求解即可得到常數(shù)a的值及l(fā)1,l2的方程;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)n(x)=ex-x-1,利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)n(x)的單調(diào)性,從而得到ex-1>x,再構(gòu)造函數(shù)m(x)=lnx-x+1,利用導(dǎo)數(shù)求出m(x)的取值范圍,即可得到lnx+1<x,從而得到ex-lnx>2,即可證明出對(duì)于函數(shù)f(x)和g(x)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,有|f(x)-g(x)|>2;
(Ⅲ)將不等式
x-m
f(x)
x
轉(zhuǎn)化成m<x-
x
ex
,從而轉(zhuǎn)化成求h(x)=x-
x
ex
的取值范圍,利用導(dǎo)數(shù)求出h(x)=x-
x
ex
的取值范圍,即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=aex與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,a),
∴f(x)在交點(diǎn)(0,a)處切線的斜率為f'(0)=a,
g(x)=lnx-lna與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為(a,0),
∴g(x)在交點(diǎn)(a,0)處切線的斜率為g′(a)=
1
a
,
∵l1∥l2,
a=
1
a
,解得a=±1,又a>0,
∴a=1,
∴l(xiāng)1方程為:y=x+1,l2方程:y=x-1;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)和g(x)公共定義域?yàn)椋?,+∞),
∵|f(x)-g(x)|=|ex-lnx|=ex-lnx,
∴令n(x)=ex-x-1,則n'(x)=ex-1>0,
∴n(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
∴n(x)>n(0)=0,
∴ex-1>x,①
令m(x)=lnx-x+1,則m′(x)=
1
x
-1

當(dāng)x>1時(shí),m'(x)<0,當(dāng)0<x<1時(shí),m'(x)>0,
∴m(x)有最大值m(1)=0,
∴l(xiāng)nx+1<x,②
由①②,得ex-1>x>lnx+1,即ex-1>lnx+1,
∴ex-lnx>2,
∴|f(x)-g(x)|>2,
故對(duì)于函數(shù)f(x)和g(x)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,有|f(x)-g(x)|>2;
(Ⅲ)不等式
x-m
f(x)
x
可轉(zhuǎn)化為m<x-
x
ex

h(x)=x-
x
ex
,則h′(x)=1-(
1
2
x
+
x
)ex
,
∵x>0,
1
2
x
+
x
2
,又ex>1,
∴h'(x)<0,
∴h(x)在(0,+∞)是減函數(shù),
∴h(x)<h(0)=0,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,考查了恒成立問(wèn)題,對(duì)于恒成立問(wèn)題一般選用參變量分離法轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值進(jìn)行求解,最值的求解是應(yīng)用了導(dǎo)數(shù)求最值.對(duì)于不等式的證明關(guān)鍵在于如何構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題.屬于中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
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