Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna其中a為常數(shù)，e=2.718K，函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點處的切線分別為l₁，l₂，且l₁∥l₂
（Ⅰ）求常數(shù)a的值及l(fā)₁，l₂的方程；
（Ⅱ）求證：對于函數(shù)f（x）和g（x）公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出兩條切線的斜率，根據(jù)l₁∥l₂，列出方程，求解即可得到常數(shù)a的值及l(fā)₁，l₂的方程；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)n（x）=e^x-x-1，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)n（x）的單調(diào)性，從而得到e^x-1＞x，再構(gòu)造函數(shù)m（x）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)求出m（x）的取值范圍，即可得到lnx+1＜x，從而得到e^x-lnx＞2，即可證明出對于函數(shù)f（x）和g（x）公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）將不等式

x-m

f(x)

＞

x

轉(zhuǎn)化成m＜x-

x

ex，從而轉(zhuǎn)化成求h(x)=x-

x

ex的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求出h(x)=x-

x

ex的取值范圍，即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=ae^x與坐標(biāo)軸的交點為（0，a），
∴f（x）在交點（0，a）處切線的斜率為f'（0）=a，
g（x）=lnx-lna與坐標(biāo)軸交點為（a，0），
∴g（x）在交點（a，0）處切線的斜率為g′(a)=

1

a

，
∵l₁∥l₂，
∴a=

1

a

，解得a=±1，又a＞0，
∴a=1，
∴l(xiāng)₁方程為：y=x+1，l₂方程：y=x-1；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）和g（x）公共定義域為（0，+∞），
∵|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|=e^x-lnx，
∴令n（x）=e^x-x-1，則n'（x）=e^x-1＞0，
∴n（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴n（x）＞n（0）=0，
∴e^x-1＞x，①
令m（x）=lnx-x+1，則m′(x)=

1

x

-1，
當(dāng)x＞1時，m'（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時，m'（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，
∴l(xiāng)nx+1＜x，②
由①②，得e^x-1＞x＞lnx+1，即e^x-1＞lnx+1，
∴e^x-lnx＞2，
∴|f（x）-g（x）|＞2，
故對于函數(shù)f（x）和g（x）公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）不等式

x-m

f(x)

＞

x

可轉(zhuǎn)化為m＜x-

x

ex，
令h(x)=x-

x

ex，則h′(x)=1-(

1

2 x

+

x

)ex，
∵x＞0，
∴

1

2 x

+

x

≥

2

，又e^x＞1，
∴h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查了恒成立問題，對于恒成立問題一般選用參變量分離法轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值進行求解，最值的求解是應(yīng)用了導(dǎo)數(shù)求最值．對于不等式的證明關(guān)鍵在于如何構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．屬于中檔題．