Question

對于兩個定義域相同的函數(shù)f（x），g（x），若存在實數(shù)m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數(shù)h（x）是由“基函數(shù)f（x），g（x）”生成的．
（1）若h（x）=2x²+3x-1由函數(shù)f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（2）利用“基函數(shù)f（x）=xe^x+x²，g（x）=x²”生成一個函數(shù)h（x），使之滿足下列條件：
①m+n=0；②有最小值-

1

e

，試探究是否存在實數(shù)a，使得對任意的x₁，x₂∈（a，+∞），當x₁＜x₂時恒有

h(x2)-h(a)

x2-a

＞

h(x1)-h(a)

x1-a

成立，若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b），展開后整理，由系數(shù)相等把a，b用n表示，然后結(jié)合n的范圍求得a+2b的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）=mxe^x+mx²-mx²=mxe^x，由題意求出滿足條件的m值，得到函數(shù)解析式，把對任意的x₁，x₂∈（a，+∞），當x₁＜x₂時恒有

h(x2)-h(a)

x2-a

＞

h(x1)-h(a)

x1-a

成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）的導函數(shù)在（a，+∞）上的導函數(shù)為增函數(shù)求解．

解答： 解：（1）設(shè)h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb，
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

，得

a= 3-n 2 b=- 1 n

．
∴a+2b=

3-n

2

-

2

n

=

3

2

-

n

2

-

2

n

．
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈(-∞，-

1

2

)∪(

7

2

，+∞)；
（2）設(shè)h（x）=mxe^x+mx²-mx²=mxe^x，
h′（x）=me^x+mxe^x=m（x+1）e^x，
函數(shù)h（x）有最小值-

1

e

，即當x=-1時函數(shù)h（x）有最小值為-me^-1=-

1

e

，即m=1．
∴h（x）=xe^x．
若存在實數(shù)a，使得對任意的x₁，x₂∈（a，+∞），當x₁＜x₂時恒有

h(x2)-h(a)

x2-a

＞

h(x1)-h(a)

x1-a

成立，
說明函數(shù)h（x）=xe^x在（a，+∞）上的導函數(shù)為增函數(shù)，
由h（x）=xe^x，得h′（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
令t（x）=（x+1）e^x，
則t′（x）=（x+2）e^x，由（x+2）e^x＞0，得x＞-2．
∴滿足條件的a的取值范圍是（-2，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是對題意的理解與合理轉(zhuǎn)化，是壓軸題．