Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin4x-cos4x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的最大值以及取最大值時(shí)相應(yīng)的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換求出函數(shù)的形式為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）利用（1）的結(jié)論進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sin4x-cos4x=2sin（4x-

π

6

）
所以：T=

2π

4

=

π

2

令：-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

12

+

kπ

2

≤x≤

kπ

2

+

π

6

所以：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

12

+

kπ

2

，

kπ

2

+

π

6

]（k∈Z）
令：

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
解得：

π

6

+

kπ

2

≤x≤

kπ

2

+

5π

12

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[

π

6

+

kπ

2

，

kπ

2

+

5π

12

]（k∈Z）
（2）函數(shù)函數(shù)f（x）=2sin（4x-

π

6

）
所以當(dāng)4x-

π

6

=2kπ+

π

2

時(shí)，
即當(dāng)x滿足：{x|x=

π

6

+

kπ

2

（k∈Z）}時(shí)，f（x）_max=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定，及函數(shù)的最值．屬于基礎(chǔ)題型．