Question

17．已知數(shù)列{a_n}中的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，又b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，
當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n，
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為：T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查利用“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．