Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的點到其焦點的最小距離為2，且漸近線方程為y=±$\frac{3}{4}$x，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{32}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的性質結合雙曲線漸近線的方程建立方程關系求出a，b的值即可得到結論．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的點到其焦點的最小距離為2，
∴c-a=2，則c=a+2，
∵漸近線方程為y=±$\frac{3}{4}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，即b=$\frac{3}{4}$a，
則b²=$\frac{9}{16}$a²=c²-a²，
即c²=$\frac{25}{16}$a，則c=$\frac{5}{4}$a=a+2，
則a=8，b=$\frac{3}{4}$×8=6，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1，
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線的方程，根據(jù)條件建立方程求出a，b的值是解決本題的關鍵．