Question

求證（3n+1）·7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除.

Answer 1

證法一：（1）當(dāng)n=1時，4×7-1=27顯然能被9整除，

（2）假設(shè)n=k時（3k+1）·7^k-1能被9整除，則n=k+1時，［3（k+1）+1］·7^k+1-1=（3k+1）·7^k+6·（3k+1）·7^k+3×7^k+1-1=［（3k+1）·7^k-1］+9·（2k+3）·7^k.

∵（3k+1）·7^k-1能被9整除，9·（2k+3）·7^k顯然能被9整除，∴當(dāng)n=k+1時命題成立.

由（1）（2）可知,n∈N^*命題都成立，

證法二：（1）當(dāng)n=1時，4×7-1=27顯然能被9整除.

（2）假設(shè)n=k時，f（k）=（3k+1）·7^k-1能被9整除.則當(dāng)n=k+1時，f（k+1）-f（k）=［（3k+4）·7^k+1-1］-［（3k+1）·7^k-1］=9·（2k+3）·7^k,所以f（k+1）=f（k）+9·（2k+3）·7^k能被9整除.

∴當(dāng)n=k+1時，命題成立.

由（1）（2）可知，n∈N^*命題都成立.