Question

15．若直線kx-y+2k+1=0與曲線C：y=3-$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$恰有兩個公共點(diǎn)，則k的取值范圍是$\frac{8-\sqrt{19}}{15}$＜k≤$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 先將曲線進(jìn)行化簡得到一個圓心M（2，3），半徑r=1的圓的下半圓，直線kx-y+2k+1=0，即k（x+2）-y+1=0表示過定點(diǎn)P（-2，1）的直線，利用直線與圓的位置關(guān)系可以求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：因?yàn)榍�線C：y=3-$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，所以（x-2）²+（y-3）²=1，
此時表示為圓心M（2，3），半徑r=1的圓的下半圓．
直線kx-y+2k+1=0，即k（x+2）-y+1=0表示過定點(diǎn)P（-2，1）的直線，
當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線kx-y+2k+1=0的距離d=$\frac{|4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{8-\sqrt{19}}{15}$．
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，3）時，直線PB的斜率為k=$\frac{3-1}{3+2}$=$\frac{2}{5}$．
所以要使直線與曲線有兩個不同的公共點(diǎn)，則必有$\frac{8-\sqrt{19}}{15}$＜k≤$\frac{2}{5}$．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是$\frac{8-\sqrt{19}}{15}$＜k≤$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{8-\sqrt{19}}{15}$＜k≤$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線的斜率和距離公式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．同時要注意曲線化簡之后是個半圓，而不是整圓，這點(diǎn)要注意，防止出錯．