Question

7．若a_n是（1+x）ⁿ展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)，則$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=2．

Answer 1

分析 首先求出展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)，然后求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，根據(jù)式子特點(diǎn)，采用裂項(xiàng)求和得到$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，然后求極限．

解答 解：由題意，a_n是（1+x）ⁿ展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)，所以${a}_{n}={C}_{n}^{2}=\frac{n（n-1）}{2}$，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n-1）}=2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
所以$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\underset{lim}{n→∞}$2（1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=$\underset{lim}{n→∞}$2（1-$\frac{1}{n}$）=2；
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的特征項(xiàng)系數(shù)的求法以及數(shù)列的極限；關(guān)鍵是由已知正確求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，正確利用裂項(xiàng)求和，然后求極限．