【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)時(shí),
【答案】(I);(II)詳見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(I)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),可得函數(shù)單調(diào)性,并求得函數(shù)的最小值,若函數(shù)有零點(diǎn),函數(shù)最小值小于零且在定義域范圍有函數(shù)值大于零,解不等式可得的范圍;(Ⅱ)將代入不等式化簡(jiǎn)為,可構(gòu)造函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可知在 條件下 最小值為 , 最大值為.可證命題.
試題解析:
(Ⅰ)法1: 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
由, 得.
因?yàn)?/span>,則時(shí), ; 時(shí), .
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí), .
當(dāng)
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
法2:函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
由, 得.
令,則.
當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), .
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.
故時(shí), 函數(shù)取得最大值.
因而函數(shù)有零點(diǎn), 則.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(Ⅱ) 要證明當(dāng)時(shí), ,
即證明當(dāng)時(shí), , 即.
令, 則.
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí), .
于是,當(dāng)時(shí), ①
令, 則.
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
所以函數(shù)
當(dāng)時(shí), .
于是, 當(dāng)時(shí), ②
顯然, 不等式①、②中的等號(hào)不能同時(shí)成立.
故當(dāng)時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車(chē)主必須為機(jī)動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車(chē)投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車(chē)輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就是越高,具體浮動(dòng)情況如下表:
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)構(gòu)為了 某一品牌普通6座以下私家車(chē)的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車(chē)齡已滿(mǎn)三年的該品牌同型號(hào)私家車(chē)的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類(lèi)型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車(chē)的投保類(lèi)型的頻率代替一輛車(chē)投保類(lèi)型的概率,完成下列問(wèn)題:
(1)按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車(chē)交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車(chē)交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定, ,記為某同學(xué)家的一輛該品牌車(chē)在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)
(2)某二手車(chē)銷(xiāo)售商專(zhuān)門(mén)銷(xiāo)售這一品牌的二手車(chē),且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車(chē)輛記為事故車(chē),假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車(chē)虧損5000元,一輛非事故車(chē)盈利10000元:
①若該銷(xiāo)售商購(gòu)進(jìn)三輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē),求這三輛車(chē)中至多有一輛事故車(chē)的概率;
②若該銷(xiāo)售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē),求他獲得利潤(rùn)的期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年1月1日,作為貴陽(yáng)市打造“千園之城”27個(gè)示范性公園之一的泉湖公園正式開(kāi)園.元旦期間,為了活躍氣氛,主辦方設(shè)置了水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目向全體市民開(kāi)放.現(xiàn)從到公園游覽的市民中隨機(jī)抽取了60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)出100名市民中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況,具體數(shù)據(jù)如圖表:
(1)根據(jù)條件完成下列
列聯(lián)表,并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)?
愿意 | 不愿意 | 總計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
總計(jì) |
(2)水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目共有兩關(guān),主辦方規(guī)定:挑戰(zhàn)過(guò)程依次進(jìn)行,每一關(guān)都有兩次機(jī)會(huì)挑戰(zhàn),通過(guò)第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn),若甲參加每一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過(guò)的概率均為
,記甲通過(guò)的關(guān)數(shù)為
,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式與數(shù)據(jù):
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一醫(yī)用放射性物質(zhì)原來(lái)質(zhì)量為a,每年衰減的百分比相同,當(dāng)衰減一半時(shí),所用時(shí)間是10年,根據(jù)需要,放射性物質(zhì)至少要保留原來(lái)的,否則需要更換.已知到今年為止,剩余的為原來(lái)的,
(1)求每年衰減的百分比;
(2)到今年為止,該放射性物質(zhì)已衰減了多少年?
(3)今后至多還能用多少年?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中,則稱(chēng)該數(shù)集為“可倒數(shù)集”.
(1)判斷集合A={-1,1,2}是否為可倒數(shù)集;
(2)試寫(xiě)出一個(gè)含3個(gè)元素的可倒數(shù)集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)在區(qū)間[-7,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為: (t為參數(shù)),它與曲線(xiàn)C: 相交于A(yíng),B兩點(diǎn).
(1)求|AB|的長(zhǎng);
(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)P到線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將圓上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,得曲線(xiàn)C.
(Ⅰ)寫(xiě)出C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l: 與C的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過(guò)線(xiàn)段P1 P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.
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