設Xn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn．問：當α≠β時，求Xn的值．
考點：數(shù)列遞推式
專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析：當β=0時，可直接得到Xn的值；當β≠0時，令γ=
α
β
，把問題轉化為等比數(shù)列的前n項和求解．
解答： 解：當β=0時，Xn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn=αn；
當β≠0時，令γ=
α
β
，依題意知γ≠1，
則Xn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn
=βn（γn+γn-1+…+γ+1）
=βn•
γn+1-1
γ-1
=
βn(
αn+1
βn+1
-1)
α
β
-1
=
αn+1-βn+1
α-β
．
當β=0時，也適合上式，
綜上所述，當α≠β時，Xn=
αn+1-βn+1
α-β
．
點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了等比數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列六個命題：（1）兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；（2）若|
a
|=|
b
|，則
a
=
b
；（3）若
AB
=
CD
，則四點A、B、C、D構成平行四邊形；（4）在?ABCD中，一定有
AB
=
DC
；（5）若
a
=
b
，
b
=
c
，則
a
=
c
；（6）若
a
∥
b
，
b
∥
c
，則
a
∥
c
．其中不正確的個數(shù)是（　�。�
A、2B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

命題“x∈Z，都有x2-2x+a＞0”的否定是（　�。�
A、?x∈Z，使x2-2x+a≤0
B、?x∈Z，使x2-2x+a＞0
C、?x∈Z，都有x2-2x+a＞0
D、不存在?x∈Z，使x2-2x+a＞0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設G是△ABC的重心，且
3
3
a
GA
+b
GB
+c
GC
=
0
，如果b=4，則△ABC的面積是（　�。�
A、4
B、2
3
C、4
2
D、4
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在復平面內，復數(shù)z=
1
1-i
+i7對應的點位于（　�。�
A、第四象限B、第三象限
C、第二象限D、第一象限

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，其焦距為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A、B、M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角θ，使
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
．
①試求直線OA與OB的斜率的乘積；
②試求|
OA
|2+|
OB
|2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P（-5，0），點Q是圓（x-5）2+y2=36上的點，M是線段PQ的中點．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程．
（Ⅱ）過點P的直線l和軌跡C有兩個交點A、B（A、B不重合），①若|AB|=4，求直線l的方程．②求
PA
•
PB
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
且與拋物線y2=4x有公共焦點F2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與橢圓交于M、N兩點，直線F2M與F2N傾斜角互補，證明：直線l過定點，并求該點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，若橢圓C上的點P（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離和等于4．
（Ⅰ）寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點M是橢圓C的動點，MF1交橢圓與點N，求線段MN中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）直線l過定點M（0，2），且與橢圓C交于不同的兩點A，B，若∠A0B為銳角（O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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同步練習冊答案