Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）= +alnx﹣3x，g（x）=﹣x2+8x，且x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．
（1）求a的值．
（2）如果函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（b，b+1）上均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)楹瘮?shù) （x＞0）

所以f′（x）=x+ ﹣3，（x＞0），

又因?yàn)閤=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．

所以 ，解得a=2

檢驗(yàn)：當(dāng)a=2時(shí)， （x＞0）

當(dāng)x∈（0，1），（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＜0，

所以x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，a=2符合題意

（2）解：g（x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16

所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，+∞）

又由（1）可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（2，+∞）

所以依題意得 或

解得 b=0或 2≤b≤3

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是{0}∪[2，3]

【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù) （x＞0），求出導(dǎo)函數(shù)，利用x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．求出a．然后驗(yàn)證即可．（2）求出函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．又由（1）可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（2，+∞），列出不等式組，求解b 的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．