Question

已知函數(shù)f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax²-x（a∈R）,g（x）=ln（x+1）.
(1)若a=0，F(xiàn)(x)=f(x)-g(x),求函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)及相應(yīng)的極值.
(2)若對于任意x₂>0，存在x₁滿足x₁<x₂且g(x₁)=f(x₂)成立，求a的取值范圍.

Answer 1

(1)只有一個極小值點(diǎn)，極小值為0. (2)

試題分析：(1)首先求出F（x）的表達(dá)式，然后求導(dǎo)，根據(jù)單數(shù)的性質(zhì)，求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)及相應(yīng)的極值.
(2) 設(shè)，依題意即求在上存在零點(diǎn)時的取值范圍.即只需要在上恒成立.即,在上恒成立.然后分，，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分別求使在上成立的a的取值范圍，最后求并集.
試題解析：(1),
,
為減函數(shù);
為增函數(shù),
所以只有一個極小值點(diǎn)，極小值為0.        4分
(2) 設(shè)
依題意即求在上存在零點(diǎn)時的取值范圍.
又當(dāng)時，，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以只需要在上恒成立.
即，在上恒成立.
即,在上恒成立.    7分
若，顯然不成立,因為由第一問知在為增函數(shù)，
故
,即在恒成立,
不妨設(shè)，
，
,       9分
若,則，若，,所以為增函數(shù)，（不合題意）,
若，若，,為增函數(shù)，（不合題意）,
若，若,，為減函數(shù),（符合題意）,
綜上所述,若時,恒成立,
則.           12分