Question

已知函數(shù)f（x）=-acos²x-asinx+

3a

2

+b（a≠0）的定義域?yàn)閇-

π

2

，

π

2

]，值域?yàn)閇-4，5]，求a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,配方法,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將f（x）統(tǒng)一成正弦形式，配方得a（sinx-

1

2

）²+

a

4

+b，令sinx=t，由x∈[-

π

2

，

π

2

]，則t∈[-1，1]，y=a（t-

1

2

）²+

a

4

+b，對a＞0，a＜0討論，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，求出最大值和最小值，列出a，b的方程，解出即可．

解答： 解：f（x）=-a（1-sin²x）-asinx+

3a

2

+b=a（sin²x-sinx）+

a

2

+b
=a（sinx-

1

2

）²+

a

4

+b，
令sinx=t，由x∈[-

π

2

，

π

2

]，則t∈[-1，1]，
y=a（t-

1

2

）²+

a

4

+b，
當(dāng)a＞0時，t=

1

2

，即x=

π

6

，y_min=

a

4

+b=-4，
t=-1時，即x=-

π

2

，y_max=

5a

2

+b=5，
解得a=4，b=-5；
當(dāng)a＜0時，t=

1

2

，即x=

π

6

，y_max=

a

4

+b=5，
t=-1時，即x=-

π

2

，y_min=

5a

2

+b=-4，
解得a=-4，b=6；
故a=4，b=-5或a=-4，b=6．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，利用三角函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的最值，是解三角函數(shù)問題的常用方法，注意函數(shù)的值域與定義域的對應(yīng)關(guān)系，配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)常用方法．