已知a，b，c∈R*，且a+2b+3c=6，
（1）求a2+2b2+3c2的最小值；
（2）求證：
a2
1+a
+
2b2
3+b
+
3c2
5+c
≥
9
7
．
考點：二維形式的柯西不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）由條件利用柯西不等式可得a2+2b2+3c2 ≥
(a+2b+3c)2
1+2+3
=
62
6
，從而求得a2+2b2+3c2取得最小值．
（2）根據(jù)
a2
1+a
+
2b2
3+b
+
3c2
5+c
≥
(a+2b+3c)2
(a+1)+2(3+b)+3(5+c)
，以及a+2b+3c=6，即可證得結(jié)論．
解答： 解：（1）利用柯西不等式可得a2+2b2+3c2≥
(a+2b+3c)2
1+2+3
=
62
6
=6，
當(dāng)且僅當(dāng)
a2
1
=
2b2
2
=
3c2
3
，即a=b=c=1時，a2+2b2+3c2取得最小值為6．
（2）證明：
a2
1+a
+
2b2
3+b
+
3c2
5+c
≥
(a+2b+3c)2
(a+1)+2(3+b)+3(5+c)
=
62
22+a+2b+3c
=
36
22+6
=
9
7
 （*），
當(dāng)且僅當(dāng)
a2
1+a
1+a
=
2b2
3+b
2(3+b)
=
3c2
5+c
3(5+c)
，即
a
1+a
=
b
3+b
=
c
5+c
，即 a：b：c=1：3：5，
即a=
3
11
、b=
9
11
、c=
15
11
 時，（*）式取到等號．
點評：本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，注意式子的變形，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，首項a1=
1
2
，前n項和為Sn，且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{nan}的前n項和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U=R，A={x|-1≤x≤1}，B={x|0＜x≤3}，求
（1）∁UA，∁UB；
（2）（∁UB）∩A．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
8
+
y2
4
=1，直線l過點P（-2，1）交橢圓C于A、B兩點．
（1）若P是AB中點，求直線l的方程及弦AB的長；
（2）求弦AB中點M的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（0＜a＜
5
，0＜b＜2）與橢圓C2：
x2
5
+
y2
4
=1有相同的焦點．直線L：y=k（x+1）與兩個橢圓的四個交點，自上而下順次記為A、B、C、D．
（Ⅰ）求線段BC的長（用k和a表示）；
（Ⅱ）是否存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列．請說明詳細的理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-acos2x-asinx+
3a
2
+b（a≠0）的定義域為[-
π
2
，
π
2
]，值域為[-4，5]，求a、b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（α）=
sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+
3π
2
)
tan(
π
2
+α)sin(-π-α)
．
（1）化簡f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（α-
3
2
π）=
1
5
，求f（α）的值；
（3）若α=-
31
3
π，求f（α）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=x2（1-5x）（0＜x＜
1
5
）的最大值是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2
x+m
，若f′（1）=0，則m=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案