Question

15．已知四面體A-BCD中，△ABC和△BCD都是邊長為6的正三角形，則當四面體的體積最大時，其外接球的表面積是（　�。�

• A． 60π
• B． 30π
• C． 20π
• D． 15π

Answer 1

分析 當四面體的體積最大時，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，DF，求出EF，判斷三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，求出半徑，然后求解三棱錐的外接球的表面積．

解答 解：當四面體的體積最大時，平面ABC⊥平面BCD，
取AD，BC中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，DF，
由題意知AF⊥DF，AF=CF=3$\sqrt{3}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，
連接OA，OC，有R²=AE²+OE²，R²=DF²+OF²，
∴R²=（$\frac{3\sqrt{6}}{2}$）²+OE²，R²=3²+（$\frac{3\sqrt{6}}{2}$-OE）²，
∴R=$\sqrt{15}$，
∴三棱錐的外接球的表面積為4πR²=60π．
故選A．

點評 本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計算問題，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題．