Question

6．已知點(diǎn)P（0，-2），點(diǎn)A，B分別為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)，直線BP交E于點(diǎn)Q，△ABP是等腰直角三角形，且$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{QB}$．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的動直線l與E相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于MN以為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量共線定理求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由a=2，將Q代入橢圓方程，即可求得b，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及△＞0，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞0，即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意題意△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），
設(shè)Q（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PQ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{QB}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{6}{5}}\\{{y}_{0}=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
代入橢圓方程，解得b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在，方程為y=kx-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²-16kx+12=0，
由直線l與E有兩個不同的交點(diǎn)，則△＞0，
即（-16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{4}$，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
由坐標(biāo)原點(diǎn)O位于MN為直徑的圓外，
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，
則x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（1+k²）x₁x₂-2k×（x₁+x₂）+4
=（1+k²）$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$-2k×$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$+4＞0，
解得：k²＜4，
綜上可知：$\frac{3}{4}$＜k²＜4，解得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k＜2或-2＜k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
直線l斜率的取值范圍（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．