【題目】已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點（不與左、右頂點重合），且的周長為6，點關于原點的對稱點為，直線交于點.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于另一點，且，求點的坐標.

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據的周長為，結合離心率，求出，即可求出方程；

（2）設，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標，直接驗證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯(lián)立，求出點坐標，根據和三點共線，將點坐標用表示，坐標代入橢圓方程，即可求解.

（1）因為橢圓的離心率為，的周長為6，

設橢圓的焦距為，則

解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）設，則，且，

所以的方程為①.

若，則的方程為②，由對稱性不妨令點在軸上方，

則，，聯(lián)立①，②解得即.

的方程為，代入橢圓方程得

，整理得，

或，.

，不符合條件.

若，則的方程為，

即③.

聯(lián)立①，③可解得所以.

因為，設

所以，即.

又因為位于軸異側，所以.

因為三點共線，即應與共線，

所以，即，

所以，又，

所以，解得，所以，

所以點的坐標為或.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點.

（1）當， 時，若點都在坐標軸的正半軸上，求橢圓的方程；

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（1）若點的坐標為，求的值；

（2）設線段的中點為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點為，且直線與拋物線交于，兩點，求的取值范圍．

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（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若直線與曲線交于，兩點，求的值．

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（2）若，證明：數(shù)列中的任意三項不可能構成等差數(shù)列．

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【題目】已知拋物線上一點到焦點的距離.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點分別為，線段中點的橫坐標記為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的短軸長為4，離心率為，斜率不為0的直線與橢圓相交于，兩點（，異于橢圓的頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線是否過定點，如果過定點，求出該定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.

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