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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點.

（1）當， 時，若點都在坐標軸的正半軸上，求橢圓的方程；

（2）若以為直徑的圓經過坐標原點，探究是否滿足，并說明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）利用點到直線的距離公式可求得，由點都在坐標軸的正半軸上，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）由以為直徑的圓經過點，可得，即，由在直線上，可將用表示，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程結合韋達定理得，化簡可得結論.

試題解析：（1）∵直線與相切，∴.

由， ，解得.

∵點都在坐標軸正半軸上，

∴.

∴切線與坐標軸的交點為， .

∴， .

∴橢圓的方程是.

（2）的關系滿足.

證明如下：設，

∵以為直徑的圓經過點，

∴，即.

∵點在直線上，

∴.

∴ （*）

由消去，得.

即

顯然

∴由一元二次方程根與系數的關系，得

代入（*）式，得.

整理，得.

又由（1），有.

消去，得

∴

∴滿足等量關系.

練習冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點.

（1）當， 時，若點都在坐標軸的正半軸上，求橢圓的方程；

（2）若以為直徑的圓經過坐標原點，探究之間的等量關系，并說明理由.

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