Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且AD=2PA，E，F(xiàn)，G，H分別是線段PA，PD，CD，BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面FDH⊥平面AEG；
（Ⅱ）求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AE⊥DH，DH⊥AG，從而DH⊥平面AEG，由此能證明平面FDH⊥平面AEG．
（Ⅱ）

VE-AFG

VP-ABCD

=

VG-AEF

VP-ABCD

，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DH，即AE⊥DH，
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°．
∴∠AGD+∠HDC=90°．∴DH⊥AG．
又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG
又∵DH?平面DHF，∴平面FDH⊥平面AEG．…（6分）
（Ⅱ）解：

VE-AFG

VP-ABCD

=

VG-AEF

VP-ABCD

=

1 3 ×DG×S△AEF

1 3 ×PA×S四邊形ABCD

…（9分）
=

1 2 ×CD× 1 2 ×EF×EA

PA×AD×CD

=

1 2 CD× 1 2 × 1 2 ×AD× 1 2 ×PA

PA×AD×CD

=

1

16

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查兩個幾何體的體積之比的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．