Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則f（x+3）是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先由奇函數(shù)性質(zhì)求f（x）的周期，然后利用此周期推導(dǎo)出結(jié)果

解答： 解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）及點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，
∴f（x）+f（2-x）=0，f（x）+f（-2-x）=0，
故有f（2-x）=f（-2-x），
函數(shù)f（x）是周期T=[2-（-2）]=4的周期函數(shù)．
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函數(shù)．
故答案為：奇函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用，并考查函數(shù)周期的求法．