Question

斜率為1的直線與橢圓x²+

y2

4

=1交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由弦長(zhǎng)公式求得AB長(zhǎng)度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線AB的距離，寫出三角形AOB的面積，然后利用二次函數(shù)求最值．

解答： 解：設(shè)直線L的方程y=x+b．
聯(lián)立

y=x+b x2+ y2 4 =1

，消去y得：5x²+2bx+b²-4=0，
由△=4b²-20（b²-4）＞0，得b²＜5．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2b

5

，x1x2=

b2-4

5

，
則|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1-x2)2-4x1x2

=

2

(- 2b 5 )2-4• b2-4 5

=

4 2

5

5-b2

．
點(diǎn)O的AB的距離d=

|b|

2

=

2

2

|b|．
∴△AOB的面積S=

1

2

|AB|d=

1

2

×

4 2

5

5-b2

×

2

2

|b|
=

2

5

5b2-b4

．
∴當(dāng)b2=

5

2

時(shí)，△AOB的面積有最大值為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．