Question

【題目】如圖，在棱長為的正方體中，，分別是和的中點．

（）求異面直線與所成角的余弦值．

（）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（）．（）存在，．

【解析】試題分析：（1）取中點，根據(jù)平行公理得即為異面直線與所成角，再根據(jù)直角三角形解角，（2）連結(jié)，交于點，則根據(jù)三垂線定理得為二面角的平面角，再根據(jù)直角三角形解得.

試題解析：（）取中點，連結(jié)，

又∵為中點，

∴，

連結(jié)，則即為異面直線與所成角，

∵為中點，正方體邊長為，

∵，，

∴，

故異面直線與所成角的余弦值為．

（）存在，在棱上取一點，

由題意可知，面，

連結(jié)，交于點，易知，，

連結(jié)，則為二面角的平面角，

當時，即，

解得，

∴當時，二面角的大小為．