分析 (Ⅰ)設(shè)線段AD的中點為F,連接EF,則EF∥PD,從而EF∥平面PCD.推導(dǎo)出四邊形DFBC為平行四邊形,從而FB∥平面PCD.進而平面EFB∥平面PCD.由此能證明BE∥平面PCD.
(Ⅱ)以A為坐標原點,$\overrightarrow{AD}$的方向為y軸正方向,建立空間直角坐標系.利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)設(shè)線段AD的中點為F,如圖1所示:
連接EF,F(xiàn)B.在△PAD中,EF為中位線,
故EF∥PD.
又EF?平面PCD,PD?平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
在底面直角梯形ABCD中,F(xiàn)D∥BC,且FD=BC,故四邊形DFBC為平行四邊形,
即FB∥CD.又FB?平面PCD,CD?平面PCD,所以FB∥平面PCD.
又因為EF?平面EFB,F(xiàn)B?平面EFB,且EF∩FB=F,所以平面EFB∥平面PCD.
又BE?平面EFB,所以有BE∥平面PCD.…(6分)
解:(Ⅱ)如圖2所示,以A為坐標原點,$\overrightarrow{AD}$的方向為y軸正方向,建立空間直角坐標系.
設(shè)PA=2,則P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),B(2,1,0).
$\overrightarrow{AP}=(0,0,2)$,$\overrightarrow{AB}=(2,1,0)$,$\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)$,$\overrightarrow{DC}=(2,0,0)$,
設(shè)$\overrightarrow{n}=({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})$是平面PAB的法向量,
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{z}_{1}=0\\ 2{x}_{1}+{y}_{1}=0\end{array}\right.$,可取$\overrightarrow{n}=(1,-2,0)$,
同理,設(shè)$\overrightarrow{m}$是平面PCD的法向量,則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0\end{array}\right.$,可取$\overrightarrow{m}=(0,-1,-1)$,
從而$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
∴平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$.…(12分)
點評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 8 | B. | 10 | C. | 12 | D. | 16 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,$\frac{1}{{e}^{3}}$) | B. | ($\frac{1}{{e}^{3}}$,+∞) | C. | (-∞,$\frac{1}{3e}$) | D. | ($\frac{1}{3e}$,+∞) |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com