Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）設(shè)E為線段PA的中點(diǎn)，求證：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AD=DC，求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)線段AD的中點(diǎn)為F，連接EF，則EF∥PD，從而EF∥平面PCD．推導(dǎo)出四邊形DFBC為平行四邊形，從而FB∥平面PCD．進(jìn)而平面EFB∥平面PCD．由此能證明BE∥平面PCD．
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}$的方向?yàn)閥軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)線段AD的中點(diǎn)為F，如圖1所示：
連接EF，F(xiàn)B．在△PAD中，EF為中位線，
故EF∥PD．
又EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
在底面直角梯形ABCD中，F(xiàn)D∥BC，且FD=BC，故四邊形DFBC為平行四邊形，
即FB∥CD．又FB?平面PCD，CD?平面PCD，所以FB∥平面PCD．
又因?yàn)镋F?平面EFB，F(xiàn)B?平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．
又BE?平面EFB，所以有BE∥平面PCD．…（6分）
解：（Ⅱ）如圖2所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}$的方向?yàn)閥軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)PA=2，則P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，2，0），B（2，1，0）．
$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AB}=（2，1，0）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{DC}=（2，0，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$是平面PAB的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{z}_{1}=0\\ 2{x}_{1}+{y}_{1}=0\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（1，-2，0）$，
同理，設(shè)$\overrightarrow{m}$是平面PCD的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（0，-1，-1）$，
從而$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．