Question

已知存在x∈（0，

1

2

）使不等式（2-a）（x-1）-x²＜0成立，則a的最大值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：轉化不等式一側為a，另一側為x的表達式，構造函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值即可得到a的最大值，

解答： 解：x∈（0，

1

2

），不等式（2-a）（x-1）-x²＜0，化為2-a＞

x2

x-1

，令f（x）=

x2

x-1

，以下求解f（x）在x∈（0，

1

2

）上的最小值．
f（x）=

x2

x-1

=

x2-1+1

x-1

=x+1+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，
x∈（0，

1

2

），x-1∈（-1，-

1

2

），
f（x）=x-1+

1

x-1

+2=-（1-x+

1

1-x

）+2，
由基本不等式以及雙鉤函數(shù)可知，x∈（0，

1

2

）時函數(shù)是減函數(shù)，
可得f（x）∈（-

1

2

，0），
則2-a≥-

1

2

，可得a≤

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題考查存在性問題，考查解不等式，解題的關鍵是構建函數(shù)，利用函數(shù)思想進行求解．