Question

已知f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若同時滿足條件：
①?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0；
②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：對m討論，分m=0，m＜0，m＞0，分別考慮兩個條件是否成立，顯然m≤0不成立，m＞0時，考慮二次函數(shù)的判別式小于0，再對x＜-4，討論二次函數(shù)的單調性，求得f（-4）＞0恒成立，即可得到m的范圍．

解答： 解：當m=0時，f（x）=1-8x，g（x）=0，則不滿足條件①②；
當m＜0時，g（x）＞0不恒成立，則①知，必須f（x）＞0恒成立，但f（x）的圖象開口向下，故不成立；
當m＞0時，要滿足①，則必須f（x）＞0恒成立，即有判別式4（4-m）²-8m＜0，解得2＜m＜8，
當x＜-4時，g（x）＜0，由于f（x）的對稱軸為x=

4-m

2m

=

2

m

-

1

2

＞-

1

2

，則（-∞，-4）為減區(qū)間，
f（-4）=2m•16+8（4-m）+1=33+24m＞0，即有②成立．
綜上可得，2＜m＜8．
故答案為：（2，8）．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質，考查二次不等式恒成立問題轉化為二次函數(shù)的值域問題，注意結合圖象和判別式，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．