Question

9．某公司為感謝全體員工的辛勤勞動(dòng)，決定在年終答謝會(huì)上，通過(guò)摸球方式對(duì)全公司1000位員工進(jìn)行現(xiàn)金抽獎(jiǎng)．規(guī)定：每位員工從裝有4個(gè)相同質(zhì)地球的袋子中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，這4個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字a、b、c、d，摸出來(lái)的兩個(gè)球上的數(shù)字之和為該員工所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額X（單位：元）．公司擬定了以下三個(gè)數(shù)字方案：

方案	a	b	c	d
一	100	100	100	500
二	100	100	500	500
三	200	200	400	400

（Ⅰ）如果采取方案一，求X=200的概率；
（Ⅱ）分別計(jì)算方案二、方案三的平均數(shù)$\overline{X}$和方差s²，如果要求員工所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，方案二和方案三選擇哪個(gè)更好？
（Ⅲ）在投票選擇方案二還是方案三時(shí)，公司按性別分層抽取100名員工進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下不完整的2×2列聯(lián)表．請(qǐng)將該表補(bǔ)充完整，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為“選擇方案二或方案三與性別有關(guān)”？

	方案二	方案三	合計(jì)
男性	12	48	60
女性	6	34	40
合計(jì)	18	82	100

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05
k0	2.072	2.706	3.841

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求X=200的概率；
（Ⅱ）求出相應(yīng)的方差，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）計(jì)算K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）從a、b、c、d中取兩個(gè)，共有ab、ac、ad、bc、bd、cd 這6個(gè)基本事件…（1分）
采取方案一，設(shè)X=200為事件A，它包含ab、ac、bc這3個(gè)基本事件
由于每個(gè)基本事件都是等可能的，所以$P（A）=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$…（3分）
（Ⅱ）依題意，求數(shù)據(jù)ab、ac、ad、bc、bd、cd的平均數(shù)$\overline{X}$和方差s²．${\overline{X}}_{2}=\frac{200+600+600+600+600+1000}{6}=600$，…（4分）${s}_{2}^{2}=\frac{1}{6}[{（200-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（1000-600）}^{2}]=\frac{160000}{3}$，…（5分）
${\overline{X}}_{3}=\frac{400+600+600+600+600+800}{6}=600$，…（6分）${s}_{3}^{2}=\frac{1}{6}[{（400-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（800-600）}^{2}]=\frac{40000}{3}$，…（7分）
${\overline{X}}_{2}={\overline{X}}_{3}$，${s}_{2}^{2}＞{s}_{3}^{2}$，方案三的方差較小，相對(duì)均衡，選擇方案三較好．…（8分）
（Ⅲ）

	二	三	合計(jì)
男性	12	48	60
女性	6	34	40
合計(jì)	18	82	100

…（9分）
直接計(jì)算得，${K}^{2}=\frac{100{（12×34-6×48）}^{2}}{60×40×18×82}≈0.407$，K²＜2.706，…（11分）
所以不能以（1-P（K²≥2.706））×100%=90%的把握認(rèn)為選擇方案二或三與性別有關(guān)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．