Question

20．以橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心O為圓心，以$\sqrt{\frac{ab}{2}}$為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．
（1）若橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其“伴隨”與直線$\sqrt{3}$x+y-2=0相切，求橢圓C的方程．
（2）設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4^{2}}$=1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于AB兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q．
（i）求$\frac{|OQ|}{|OP|}$的值；
（ii）求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和橢圓的“伴隨”定義及a，b，c的關(guān)系，計(jì)算即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓C的方程；
（Ⅱ）求得橢圓E的方程，（i）設(shè)P（x₀，y₀），$\frac{|OQ|}{|OP|}$=λ，求得Q的坐標(biāo)，分別代入橢圓C，E的方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值；
（ii）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線y=kx+m代入橢圓E的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，三角形的面積公式，將直線y=kx+m代入橢圓C的方程，由判別式大于0，可得t的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的最值，又△ABQ的面積為3S，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其“伴隨”與直線$\sqrt{3}$x+y-2=0相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\sqrt{\frac{ab}{2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{3+1}}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由（1）知橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
（i）設(shè)P（x₀，y₀），$\frac{|OQ|}{|OP|}$|=λ，由題意可知，
Q（-λx₀，-λy₀），由于$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
又$\frac{（-λ{(lán)x}_{0}）^{2}}{16}$+$\frac{（-λ{(lán)y}_{0}）^{2}}{4}$=1，即$\frac{{λ}^{2}}{4}$（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²）=1，
所以λ=2，即$\frac{|OQ|}{|OP|}$|=2；
（ii）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線y=kx+m代入橢圓E的方程，可得
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，由△＞0，可得m²＜4+16k²，①
則有x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，
所以|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
由直線y=kx+m與y軸交于（0，m），
則△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$|m|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$|m|•$\frac{4\sqrt{16{k}^{2}+{4-m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=2$\sqrt{（4-\frac{{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}）•\frac{{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$，
設(shè)$\frac{{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=t，則S=2$\sqrt{t（4-t）}$，
將直線y=kx+m代入橢圓C的方程，可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△＞0可得m²＜1+4k²，②
由①②可得0＜t＜1，則S=2$\sqrt{-（t-2）^{2}+4}$在（0，1）遞增，即有t=1取得最大值，
即有S$≤2\sqrt{3}$，即m²=1+4k²，取得最大值2$\sqrt{3}$，
由（i）知，△ABQ的面積為3S，
即△ABQ面積的最大值為6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查三角形的面積公式和二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．