Question

12．已知點F是橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{5{m}^{2}}$=1（m＞0）的上焦點，F₁是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點．若線段FF₁的中點P恰好為橢圓T與雙曲線C的漸近線在第一象限內的交點，則雙曲線C的離心率為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出中點P的坐標，根據點P在橢圓上建立方程關系求出a，b的關系即可得到結論．

解答 解：設F₁（c，0），由橢圓方程得F（0，2m），則線段FF₁的中點P（$\frac{c}{2}$，m），
∵點P在橢圓上，
∴$\frac{{c}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{1}{5}=1$，得m=$\frac{\sqrt{5}}{4}$c，
∵P（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{4}$c）在雙曲線漸近線y=$\frac{a}$x上，
則$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{5}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據條件建立方程關系求出a，b的關系是解決本題的關鍵．