Question

已知函數(shù)f（x）=

2x2+bx+c

x2+1

，滿足f（1）=1，f（2）=

6

5

．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）判斷函數(shù)F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的單調(diào)性，并證明；
（3）若m∈R，求F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把f（1）=1，f（2）=

6

5

代入解得即可，
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性，問(wèn)題得以解決．
（3）先求出（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的范圍，再根據(jù)函數(shù)F（x）單調(diào)性，求得值域．

解答： 解：（1）由 f（1）=

1

2

（a+b+c）=1，f（2）=

1

5

（8+2b+c）=

6

5

，
解得b=-2，c=2，
∴f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

，
（2）F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的單調(diào)遞減，
∵設(shè)u=f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

=2-

2x

x2+1

，
∴f′（x）=

2(x2-1)

(x2+1)2

，
∵x∈[-1，1]
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上的單調(diào)遞減，
而y=lgu增函數(shù)，
∴F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的單調(diào)遞減，
（3）∵|m-

1

4

|-|m+

1

4

|≤m-

1

4

-（m+

1

4

）=

1

2

，
∴-

1

2

≤|m-

1

4

|-|m+

1

4

|≤

1

2

，
由（2）知F（x）在x∈[-1，1]上的單調(diào)遞減，
∴F（

1

2

）≤F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）≤F（-

1

2

）
∵F（

1

2

）=lg

6

5

，F(xiàn)（-

1

2

）=lg

14

5

，
∴F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的值域?yàn)閇lg

6

5

，lg

14

5

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，屬于中檔題．