Question

已知函數(shù)，，其中．

（1）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；

（2）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：解：∵，其定義域為，

∴．                                    

∵是函數(shù)的極值點，∴，                

即．                                             

∵，∴．                                       

（2） 對任意的都有≥成立等價于對任意的

都有≥．                           

當［1，］時，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴．                                 

∵，且，．

①當且［1，］時，，

∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，

∴.                                 

由≥，得≥，

又，∴不合題意．

②當1≤≤時，

若1≤＜，則，

若＜≤，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤．                             

③當且［1，］時，，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．∴.

由≥，得≥，

又，∴．                                           

綜上所述，的取值范圍為．                            

考點：導數(shù)的應用

點評：導數(shù)常應用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。