Question

已知關于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-2bx+1．
（1）已知集合P={-2，1，2}，Q={-1，1，2}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）在區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)隨機任取一點（a，b），求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：函數(shù)的性質及應用,概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)題意，應滿足

b

a

≤1且a＞0，求出分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，共有多少個，其中滿足要求的有多少個，即可求出對應的概率；
（2）求出區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

的面積，其中滿足

b

a

≤1且a＞0的面積是多少，從而求得對應的概率．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-2bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴對稱軸x₀=

b

a

≤1且a＞0；…（2分）
分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，
有（-2，-1），（-2，1），（-2，2），
（1，-1），（1，1），（1，2），
（2，-1），（2，1），（2，2）共9個；
其中符合要求的有（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，2）共5個；…（5分）
設“能使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的事件為A”，則P（A）=

5

9

；…（6分）
（2）∵區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

的面積是

1

2

×8×8=32，
其中滿足

b

a

≤1且a＞0的面積是

1

2

×8×4=16，
設“在區(qū)域內(nèi)任限一個點（a，b），能使函數(shù)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的事件為B”，
則P（B）=

16

32

=

1

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了古典概型與幾何概型的應用問題，是綜合題．