Question

19．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥2；
（2）若f（x）=|x-1+a|，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，即可解不等式f（x）≥2；
（2）因?yàn)閨2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|．由絕對(duì)值不等式成立條件可知：當(dāng)且僅當(dāng)（2x-1）（x-a）≤0時(shí)成立，即可求x的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|+|x-1|．                   …（1分）
當(dāng)x≥1時(shí)，3x-2≥2，∴x≥$\frac{4}{3}$                                           …（2分）
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x＜1時(shí)，無解                                               …（3分）
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，x≤0                                                  …（4分）
綜上：不等式的解集為{x|x≤0或x≥$\frac{4}{3}$}；                                           …（5分）
（2）因?yàn)閨2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|．                …（6分）
由絕對(duì)值不等式成立條件可知：
當(dāng)且僅當(dāng)（2x-1）（x-a）≤0時(shí)成立                                    …（7分）
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}≤x≤a$                                            …（8分）
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，x=$\frac{1}{2}$                                               …（9分）
當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，a≤x≤$\frac{1}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．