4.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,$f(x)={log_{\frac{1}{3}}}$2x
(1)求當x<0時,函數(shù)f(x)的表達式            
(2)解不等式f(x)≤3.

分析 (1)根據(jù)奇函數(shù)的定義與性質(zhì),求出x<0時f(x)的解析式即可;
(2)由題意,分別求出x>0和x<0時對應(yīng)不等式的解集即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),
當x>0時,$f(x)={log_{\frac{1}{3}}}$2x,
所以,當x<0時,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-${log}_{\frac{1}{3}}$2(-x)=-${log}_{\frac{1}{3}}$(-2x),
所以f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{3}}2x,x>0}\\{{-log}_{\frac{1}{3}}(-2x),x<0}\end{array}\right.$;
(2)由題意:當x>0時有${log}_{\frac{1}{3}}$2x≤3,解得x≥$\frac{1}{54}$;
當x<0時有-${log}_{\frac{1}{3}}$(-2x)≤3,
即${log}_{\frac{1}{3}}$(-2x)≥-3,解得x≤-$\frac{27}{2}$;
綜上,原不等式的解集為{x|x≤-$\frac{27}{2}$或x≥$\frac{1}{54}$}.

點評 本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的方法,以及分段函數(shù)“分段處理”的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.

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