Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點．
（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若直線AE與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，求二面角P-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥PC，AC⊥BC，從而AC⊥面PBC，由此能證明面EAC⊥面PBC．
（2）以C為原瞇，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AC-E的余弦值．

解答 證明：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC…（2分）
∵AB=2，AD=CD=1，∴$AC=BC=\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC…（4分）
∵PC∩BC=C，PC?面PBC，BC?面PBC，
∴AC⊥面PBC…（5分）
∵AC?面EAC，∴面EAC⊥面PBC…（6分）
解：（2）如圖，建立空間直角坐標系：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），
設P（0，0，a）（a＞0），則$E（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{a}{2}}）$，
$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-a），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$，$\frac{a}{2}$），
∵AC⊥面PBC，∴$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0）為面PBC的法向量，
設直線AE與面PBC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CA}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CA}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{10+{a}^{2}}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴a=2，∴$\overrightarrow{CP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，1$），…（8分）
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為面PAC的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），…（9分）
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為面ACE的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x-y+2x=0}\end{array}\right.$，
∴取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角P-AC-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．