Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（m，n-1），$\overrightarrow$=（1，2）（m、n為正數(shù)），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則$\frac{1}{m+1}$+$\frac{2}{n+1}$的最小值是$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，化為m+2n=2．利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=m+2（n-1）=0，化為m+2n=2．
∴m+1+2（n+1）=5．
又m、n為正數(shù)，
∴$\frac{1}{m+1}$+$\frac{2}{n+1}$=$\frac{1}{5}$[m+1+2（n+1）]$（\frac{1}{m+1}+\frac{2}{n+1}）$=$\frac{1}{5}$$[5+\frac{2（n+1）}{m+1}+\frac{2（m+1）}{n+1}]$≥$\frac{1}{5}$$（5+2×2×\sqrt{\frac{n+1}{m+1}×\frac{m+1}{n+1}}）$=$\frac{9}{5}$．當且僅當m=n=$\frac{2}{3}$時取等號．
∴$\frac{1}{m+1}$+$\frac{2}{n+1}$的最小值是$\frac{9}{5}$．
故答案為：$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．