Question

7．已知a，b∈（0，e），且a＜b，則下列式子中正確的是（　�。�

• A． alnb＜blna
• B． alnb＞blna
• C． alna＞blnb
• D． alna＜blnb

Answer 1

分析 先構造函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}$，利用導數(shù)判斷函數(shù)在（0，e）上的單調(diào)性，即可得到alnb＞blna，再構造函數(shù)g（x）=xlnx，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可解決．

解答 解：設$f（x）=\frac{lnx}{x}$，則$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
在（0，e）上，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（a）＜f（b），即$\frac{lna}{a}＜\frac{lnb}，blna＜alnb$；
設g（x）=xlnx，則g'（x）=1+lnx，
當$x∈（0，\frac{1}{e}）$時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當$x∈（\frac{1}{e}，e）$時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
∴C，D均不正確，
故選：B

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系，以及導數(shù)的應用，屬于中檔題．