Question

16．已知$sin（{α+\frac{π}{3}}）=-\frac{4}{5}$，$-\frac{π}{2}＜α＜0$，則cosα=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 先確定α+$\frac{π}{3}$的范圍，求得cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，進(jìn)而利用余弦的兩角和公式求得答案．

解答 解：∵$-\frac{π}{2}＜α＜0$，$sin（{α+\frac{π}{3}}）=-\frac{4}{5}$，
∴$α+\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
∴cos（$α+\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=cos（α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=cos（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+（-\frac{4}{5}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．
故答案為：$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．