Question

1．已知正整數(shù)a，b，c（a＞b＞c）為△ABC的三邊長，且{$\frac{{2}^{a}}{15}$}={$\frac{{2}^}{15}$}={$\frac{{2}^{c}}{15}$}，求a+b+c的最小值，其中{m}表示m的小數(shù)部分，即{m}=m-[m]（[m]表示不超過m的最大整數(shù)）．

Answer 1

分析 令a=1，2，3，4，5，…；求{$\frac{{2}^{a}}{15}$}的值，從而找到規(guī)律，從而設(shè)a=4n+1，化簡{$\frac{{2}^{a}}{15}$}={$\frac{{2}^{4n+1}}{15}$}={$\frac{2•（15+1）^{n}}{15}$}，再利用二項(xiàng)式定理化簡可得原式=$\frac{2}{15}$，再類比推導(dǎo)即可，從而列出求最小值．

解答 解：設(shè)a=4n+1，則
{$\frac{{2}^{a}}{15}$}={$\frac{{2}^{4n+1}}{15}$}
={$\frac{2•1{6}^{n}}{15}$}
={$\frac{2•（15+1）^{n}}{15}$}
={2•$\frac{{∁}_{n}^{0}1{5}^{n}+{∁}_{n}^{1}1{5}^{n-1}+…+{∁}_{n}^{n}}{15}$}
={$\frac{2}{15}$}=$\frac{2}{15}$，
即當(dāng){$\frac{{2}^{a}}{15}$}=$\frac{2}{15}$時，a=4n+1，n∈N；
同理可得，
 當(dāng){$\frac{{2}^{a}}{15}$}=$\frac{4}{15}$時，a=4n+2，n∈N；
 當(dāng){$\frac{{2}^{a}}{15}$}=$\frac{8}{15}$時，a=4n+3，n∈N；
 當(dāng){$\frac{{2}^{a}}{15}$}=$\frac{1}{15}$時，a=4n+4，n∈N；
故分別為1，5，9，13，…；
2，6，10，14，…；
3，7，11，15，…；
4，8，12，16，…；
又∵a，b，c（a＞b＞c）為△ABC的三邊長，
∴a，b，c的最小值為13，9，5；
故a+b+c的最小值為13+9+5=27．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．