Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）判斷是否存在直線l與f（x）的圖象有兩個不同的切點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得2x³-a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤2x³，求出右邊函數(shù)的值域，即可得到a的范圍；
（2）不存在直線l與f（x）的圖象有兩個不同的切點(diǎn)．假設(shè)存在這樣的直線l，設(shè)兩切點(diǎn)為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），由假設(shè)可得f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的解析式，化簡整理，即可得到矛盾．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}-a}{{x}^{2}}$，
由f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
可得2x³-a≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≤2x³，由2x³在（0，+∞）上遞增，可得2x³的值域?yàn)椋?，+∞），
則a≤0，即有a的取值范圍為（-∞，0]；
（2）不存在直線l與f（x）的圖象有兩個不同的切點(diǎn)．
證明：假設(shè)存在這樣的直線l，
設(shè)兩切點(diǎn)為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），
由假設(shè)可得f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
由f′（x₁）=f′（x₂），可得2x₁-$\frac{a}{{{x}_{1}}^{2}}$=2x₂-$\frac{a}{{{x}_{2}}^{2}}$，
即有2（x₁-x₂）=a•$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$，顯然x₁+x₂≠0，x₁-x₂≠0，
即有a=-$\frac{2{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，而$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-f′（x₁）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+\frac{a}{{x}_{1}}-（{{x}_{2}}^{2}+\frac{a}{{x}_{2}}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-2x₁+$\frac{a}{{{x}_{1}}^{2}}$
=x₁+x₂-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$-2x₁+$\frac{a}{{{x}_{1}}^{2}}$=x₂-x₁+$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{2{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$≠0，
即f′（x₁）=f′（x₂）≠$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
故不存在直線l與f（x）的圖象有兩個不同的切點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查存在性問題的解法，以及不等式恒成立問題的解法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．