Question

6．設n≥2，且n∈N^*，證明：（1+$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{2n-1}$）＞$\frac{\sqrt{2n+1}}{2}$．

Answer 1

分析 直接利用數學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=1時不等式成立；（2）假設當n=k（k≥1）時成立，利用放縮法證明n=k+1時，不等式也成立．

解答 證明：（1）當n=2時，不等式左邊=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{\sqrt{64}}{6}$，不等式右邊=$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{45}}{6}$，不等式成立，
（2）假設n=k時，不等式成立，即：（1+$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{2k-1}$）＞$\frac{\sqrt{2k+1}}{2}$，
那么當n=k+1是，即（1+$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{5}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{2k-1}$）（1+$\frac{1}{2k+1}$）＞$\frac{\sqrt{2k+1}}{2}$•（1+$\frac{1}{2k+1}$）=$\frac{\sqrt{2k+1}}{2}$•$\frac{2k+2}{2k+1}$=$\frac{k+1}{\sqrt{2k+1}}$，
∵（2k+1）（2k+3）＜4（k+1）²，
∴$\sqrt{2k+1}$•$\sqrt{2k+3}$＜2（k+1），
∴$\frac{k+1}{\sqrt{2k+1}}$＞$\frac{\sqrt{2k+3}}{2}$，
∴當n=k+1時，不等式也成立，
根據（1）（2）可得不等式對所有的n≥2都成立．

點評 本題是中檔題，考查數學歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應用，考查邏輯推理能力．