Question

11．給定下列四個命題：
（1）若a²＞b²，c²＞d²，則|ac|＞|bd|；
（2）S_n是等比數列{a_n}的前n項和，則必有：S_n（S_3n-S_2n）=（S_2n-S_n）²；
（3）函數f（x）=lgsin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象有對稱軸；
（4）O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{sinC}$$+\frac{\overrightarrow{AC}}{sinB}$），λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內心；
其中正確命題的序號為（1）（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）根據不等式的性質進行判斷．
（2）根據等比數列的性質進行判斷，
（3）根據三角函數的對稱性進行判斷．
（4）根據向量的基本定理進行判斷．

解答 解：（1）若a²＞b²，c²＞d²，則a²c²＞b²d²，則|ac|＞|bd|成立；
（2）S_n是等比數列{a_n}的前n項和，則必有：S_n（S_3n-S_2n）=（S_2n-S_n）²；成立，
（3）當y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）＞0時，函數y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）存在對稱軸，則函數f（x）=lgsin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象有對稱軸；成立．
（4）③如圖，


在△ABC中，由$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}=2R$（R為三角形ABC外接圓半徑），所以$sinC=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2R}，sinB=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{2R}$，
所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{sinC}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{sinB}$）=$\overrightarrow{OA}$+$λ（\frac{2R\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{2R\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$=$\overrightarrow{OA}+2Rλ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$，
即$\overrightarrow{AP}=2Rλ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$．
所以直線AP一定通過△ABC的內心．故（4）正確，
故答案為：（1）（2）（3）（4）

點評 本題考查了命題的真假的判斷與運用，涉及的知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．