Question

【題目】已知數列的前項和為，且，.

（1）若數列是等差數列，且，求實數的值；

（2）若數列滿足（），且，求證：是等差數列；

（3）設數列是等比數列，試探究當正實數滿足什么條件時，數列具有如下性質：對于任意的（），都存在，使得，寫出你的探究過程，并求出滿足條件的正實數的集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）根據等差數列由，解得， 則得a．

（2）由，解得， 由，且，，求得為奇數時與為偶數時的，利用等差數列的定義證得是等差數列.

（3）由題意， 根據對任意，都有，分別討論當時和當時，通過找反例得到數列不具有性質

又當時，通過，且，得到，證得數列具有性質．

（1）設等差數列的公差為．由，得，

解得． 則得 ，所以a=3．

（2）由，得 ，

解得， 由，且，，得

當為奇數時，；

當為偶數時，．

所以對任意，都有，當時，，

所以數列是以為首項、為公差的等差數列．

（3）由題意，

①當時，，

所以對任意，都有，

因此數列不具有性質．

②當時，，，

所以對任意，都有，

因此數列不具有性質．

③當1<a<2時，

,

，

取(表示不小于的最小整數)，則，.

所以對于任意，，

即對于任意，都不在區(qū)間內，

所以數列不具有性質．

④當時，，且，

即對任意的，都有，

所以當時，數列具有性質．

綜上,使得數列具有性質的正實數的集合為．

③④的另解：

當時，單調遞增，單調遞增，且時，．

若對任意，都存在，使得，即存在在區(qū)間內．

觀察，，…，

發(fā)現在內的只能是．

證明：在個區(qū)間，，…，內需要個，

因為，，所以可選擇的只能是，共個．

由，得．

所以只需滿足恒成立，即，

得對任意都成立．

因為數列單調遞增，且，所以．

綜上,使得數列具有性質的正實數的集合為．