10.若三個(gè)單位向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$,$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,則|3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最大值為( 。
A.5+$\sqrt{2}$B.3+2$\sqrt{2}$C.8D.6

分析 根據(jù)條件便可分別以O(shè)A,OB為x軸,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,并可得出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),設(shè)C(cosα,sinα),從而可以得出向量$3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}$的坐標(biāo),并可得出$(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c})^{2}=-10sin(α+θ)+26$,這樣即可求出$|3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}|$的最大值.

解答 解:∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$;
∴作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$,則$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$;
∴分別以O(shè)A,OB所在直線為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則:
A(1,0),B(0,1),設(shè)C(cosα,sinα);
∴$3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}=3(1,0)+4(0,1)-(cosα,sinα)$=(3-cosα,4-sinα);
∴$(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c})^{2}=9-6cosα+co{s}^{2}α$+16-8sinα+sin2a=-6cosα-8sinα+26
=-10sin(α+θ)+26,其中$tanθ=\frac{3}{4}$;
∴sin(α+θ)=-1時(shí),$(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c})^{2}$取最大值36;
∴$|3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}|$的最大值為6.
故選D.

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法,以及向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算,要求向量長(zhǎng)度的最大值,而求向量平方最大值的方法,以及兩角和的正弦公式,正弦函數(shù)的最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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