Question

2．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及圖象的對稱軸；
（2）求函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的余弦公式以及誘導公式結合輔助角公式進行化簡即可求函數(shù)f（x）的最小正周期及圖象的對稱軸；
（2）求出函數(shù)在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的取值范圍，結合三角函數(shù)的單調性進行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin[$\frac{π}{2}$+（x-$\frac{π}{4}$）]
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
則函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即圖象的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
（2）∵-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x≤π，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
則當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最大值為f（x）=sin$\frac{π}{2}$=1，
當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$時，函數(shù)取得最小值為f（x）=sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
即函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)兩角和差的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．